首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)为[0,1]上单调减少的连续函数,且f(x)>0,试证:存在唯一的点ξ∈(0,1),使得∫0ξ f(x)dx=(1-ξ)f( ξ) .
设f(x)为[0,1]上单调减少的连续函数,且f(x)>0,试证:存在唯一的点ξ∈(0,1),使得∫0ξ f(x)dx=(1-ξ)f( ξ) .
admin
2017-05-31
44
问题
设f(x)为[0,1]上单调减少的连续函数,且f(x)>0,试证:存在唯一的点ξ∈(0,1),使得∫
0
ξ
f(x)dx=(1-ξ)f( ξ) .
选项
答案
令φ(x)=(1一x)F(x)=∫
0
x
f(t)dt—x∫
0
x
f(t)dt,则φ(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且φ(0)=φ(1)=0. 由洛尔定理,存在点ξ∈(0,1),使得φ’(ξ)=0,即f(ξ)一∫
0
ξ
f(t)dt—ξf(ξ)=0,故有∫
0
ξ
f(t)dt=(1一ξ)f(ξ) 用反证法证明唯一性. 假若在(0,1)内存在点ξ
1
、ξ
2
,不妨设ξ
1
<ξ
2
,使[*]两式相减得: [*] 由已知条件可知,上式的左边大于零,而右边小于零矛盾,故点ξ是唯一的.
解析
记F(x)=∫
0
x
f(t)dt,欲证存在点ξ,使得F(ξ)=(1—ξ)F’(ξ)
F(x)=(1-x)F’(x).解变量可分离的微分方程得
即(1一x)F(x)=c.
作辅助函数φ(x)=(1一x)F(x),用洛尔定理证明.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/deu4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则
设α1,α2,…,αs均为n维列向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是
A、 B、 C、 D、 D
设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记α=,β=证明二次型,对应的矩阵为2ααT+ββT;
设总体X的概率密度为p(x,λ)=,其中λ>0为未知参数,α>0是已知常数,试根据来自总体X的简单随机样本X1,X2,…,X,求λ的最大似然估计量λ.
设f(x,y)为区域D内的函数,则下列各种说法中不正确的是().
(1998年试题,一)设L为椭圆其周长记为a,则=____________.
(2010年试题,17)(I)比较的大小,说明理由.(Ⅱ)设求极限
计算,其中S为圆柱x2+y2=a2(a>0)位于z=一a与z=a之间的部分。
随机试题
设计名为mystock的表单(控件名,文件名均为mystock)。表单的标题为:“股票持:有情况”。表单中有两个文本框(text1和text2)和两个命令按钮即“查询”(名称为Command1)和“退出”(名称为Command2)。运行表单时,在文
这个地面标记的含义是预告前方设有交叉路口。
铣床主轴轴向窜动的公差是__________mm。
糖尿病的基本生理变化是()
城市的区位结构不涉及以下哪一项?()
对求助者的尊重不包含()。
Oneofthemostremarkablethingsaboutthehumanmindisourabilitytoimaginethefuture.Inour【C1】______wecanseewhathas
为了落实“最多跑一趟”,解决群众“烦、急、累”的情绪,让你去征求意见,保证准确性,你会重点从哪几个方面开展?
Whatisthepassagemainlyabout?Thephrase"throwone’sweightaround"(Paragraph2)probablymeans______.
资本有机构成是指
最新回复
(
0
)