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  3. 设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)>0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得∫0ξ f(x)dx=(1－ξ)f( ξ) ．

设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)>0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得∫0ξ f(x)dx=(1－ξ)f( ξ) ．

admin2017-05-31  25
问题 设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)>0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得∫0ξ f(x)dx=(1－ξ)f( ξ) ．
选项
答案令φ(x)=(1一x)F(x)=∫0xf(t)dt—x∫0xf(t)dt，则φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且φ(0)=φ(1)=0． 由洛尔定理，存在点ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，即f(ξ)一∫0ξf(t)dt—ξf(ξ)=0，故有∫0ξf(t)dt=(1一ξ)f(ξ) 用反证法证明唯一性． 假若在(0，1)内存在点ξ1、ξ2，不妨设ξ1＜ξ2，使[*]两式相减得： [*] 由已知条件可知，上式的左边大于零，而右边小于零矛盾，故点ξ是唯一的．
解析 记F(x)=∫0xf(t)dt，欲证存在点ξ，使得F(ξ)=(1—ξ)F’(ξ)F(x)=(1－x)F’(x)．解变量可分离的微分方程得
即(1一x)F(x)=c．
    作辅助函数φ(x)=(1一x)F(x)，用洛尔定理证明．
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