求当x>0,y>0,z>0时,函数f(x,y,z)=lnx+21ny+3lnz在球面x2+y2+z2=6λ2上的最大值.并证明:对任何正实数a、b、c,不等式ab2c3≤成立.

admin2017-05-31  40

问题 求当x>0,y>0,z>0时,函数f(x,y,z)=lnx+21ny+3lnz在球面x2+y2+z2=6λ2上的最大值.并证明:对任何正实数a、b、c,不等式ab2c3成立.

选项

答案为求在条件x2+y2+z2=6r2下函数f(x,y,z)=lnx+2lny+3lnz的最大值,不 妨设L(x,y,z,λ)=lnx+2lny+3lnz+λ(x2+y2+z2一6r2)(x>0,y>0,z>0).由方程组 [*] 因为驻点(x,y,z)在球面x2+y2+z2=6r2的第一卦限部分上,则点[*]是唯一的驻点. 另一方面,当点趋于球面(第一卦限部分)与坐标平面的交线时,函数f(x,y,z)便趋于一∞,所以函数f(x,y,z)在指定的区域内部取得最大值,从而此唯一的驻点便是最大值点,即 [*]

解析 本题第一部分是求条件极值,利用拉格朗日乘子法解答.
    本题第二部分是利用第一部分得到的结果来证明不等式.
(1)本题的目标函数亦可取为f(x,y,z)=xy2z3,同样有效.
    (2)由本题的目标函数与约束条件在形式上的对称性,还可以将上面的条件极大值问题
改为如下的条件极小值问题:求目标函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在条件xy2z3=6r2约束下的最小值.只是具体求解起来不如上述方法简单.
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