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  3. 求当x>0，y>0，z>0时，函数f(x，y，z)=lnx+21ny+3lnz在球面x2+y2+z2=6λ2上的最大值．并证明：对任何正实数a、b、c，不等式ab2c3≤成立．

求当x>0，y>0，z>0时，函数f(x，y，z)=lnx+21ny+3lnz在球面x2+y2+z2=6λ2上的最大值．并证明：对任何正实数a、b、c，不等式ab2c3≤成立．

admin2017-05-31  80
问题 求当x>0，y>0，z>0时，函数f(x，y，z)=lnx+21ny+3lnz在球面x2+y2+z2=6λ2上的最大值．并证明：对任何正实数a、b、c，不等式ab2c3≤成立．
选项
答案为求在条件x2+y2+z2=6r2下函数f(x，y，z)=lnx+2lny+3lnz的最大值，不 妨设L(x，y，z，λ)=lnx+2lny+3lnz+λ(x2+y2+z2一6r2)(x>0，y>0，z>0)．由方程组 [*] 因为驻点(x，y，z)在球面x2+y2+z2=6r2的第一卦限部分上，则点[*]是唯一的驻点． 另一方面，当点趋于球面(第一卦限部分)与坐标平面的交线时，函数f(x，y，z)便趋于一∞，所以函数f(x，y，z)在指定的区域内部取得最大值，从而此唯一的驻点便是最大值点，即 [*]
解析 本题第一部分是求条件极值，利用拉格朗日乘子法解答．
    本题第二部分是利用第一部分得到的结果来证明不等式．
(1)本题的目标函数亦可取为f(x，y，z)=xy2z3，同样有效．
    (2)由本题的目标函数与约束条件在形式上的对称性，还可以将上面的条件极大值问题
改为如下的条件极小值问题：求目标函数f(x，y，z)=x2+y2+z2在条件xy2z3=6r2约束下的最小值．只是具体求解起来不如上述方法简单．
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