求当x>0，y>0，z>0时，函数f(x，y，z)=lnx+21ny+3lnz在球面x2+y2+z2=6λ2上的最大值．并证明：对任何正实数a、b、c，不等式ab2c3≤成立．

admin2017-05-31 87

问题求当x>0，y>0，z>0时，函数f(x，y，z)=lnx+21ny+3lnz在球面x²+y²+z²=6λ²上的最大值．并证明：对任何正实数a、b、c，不等式ab²c³≤

成立．

选项

答案为求在条件x²+y²+z²=6r²下函数f(x，y，z)=lnx+2lny+3lnz的最大值，不妨设L(x，y，z，λ)=lnx+2lny+3lnz+λ(x²+y²+z²一6r²)(x>0，y>0，z>0)．由方程组 [*] 因为驻点(x，y，z)在球面x²+y²+z²=6r²的第一卦限部分上，则点[*]是唯一的驻点．另一方面，当点趋于球面(第一卦限部分)与坐标平面的交线时，函数f(x，y，z)便趋于一∞，所以函数f(x，y，z)在指定的区域内部取得最大值，从而此唯一的驻点便是最大值点，即 [*]

解析本题第一部分是求条件极值，利用拉格朗日乘子法解答．
本题第二部分是利用第一部分得到的结果来证明不等式．
(1)本题的目标函数亦可取为f(x，y，z)=xy²z³，同样有效．
(2)由本题的目标函数与约束条件在形式上的对称性，还可以将上面的条件极大值问题
改为如下的条件极小值问题：求目标函数f(x，y，z)=x²+y²+z²在条件xy²z³=6r²约束下的最小值．只是具体求解起来不如上述方法简单．

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考研数学一

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求当x>0，y>0，z>0时，函数f(x，y，z)=lnx+21ny+3lnz在球面x2+y2+z2=6λ2上的最大值．并证明：对任何正实数a、b、c，不等式ab2c3≤成立．

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[*]

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设(x0，y0)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_______．

设a＞0，f(x)=g(x)=，而D表示整个平面，则I==__________．

设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：(Ⅰ)存在η∈(a，b)，使得f(η)=g(η)；(Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ

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脉压差增大的先天性心脏病是

大中型及限额以上项目的项目建议书，由(　　)委托具有相应资质的工程咨询单位评估后审批。

法国统计家恩格尔在1587年经过大量调查统计发现,随着家庭收入的增加,人们用于食品的开支比例会相应减少,这就是著名的“恩格尔定律”。()

ADR、ADL和OBOS既可以应用到个股，又可以应用到综合指数。()

对于同一公共服务的同一个受益者，不应该同时并存两个或两个以上的收费项目，体现政府收费的原则是()。

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