求当x>0，y>0，z>0时，函数f(x，y，z)=lnx+21ny+3lnz在球面x2+y2+z2=6λ2上的最大值．并证明：对任何正实数a、b、c，不等式ab2c3≤成立．

admin2017-05-31 46

问题求当x>0，y>0，z>0时，函数f(x，y，z)=lnx+21ny+3lnz在球面x²+y²+z²=6λ²上的最大值．并证明：对任何正实数a、b、c，不等式ab²c³≤

成立．

选项

答案为求在条件x²+y²+z²=6r²下函数f(x，y，z)=lnx+2lny+3lnz的最大值，不妨设L(x，y，z，λ)=lnx+2lny+3lnz+λ(x²+y²+z²一6r²)(x>0，y>0，z>0)．由方程组 [*] 因为驻点(x，y，z)在球面x²+y²+z²=6r²的第一卦限部分上，则点[*]是唯一的驻点．另一方面，当点趋于球面(第一卦限部分)与坐标平面的交线时，函数f(x，y，z)便趋于一∞，所以函数f(x，y，z)在指定的区域内部取得最大值，从而此唯一的驻点便是最大值点，即 [*]

解析本题第一部分是求条件极值，利用拉格朗日乘子法解答．
本题第二部分是利用第一部分得到的结果来证明不等式．
(1)本题的目标函数亦可取为f(x，y，z)=xy²z³，同样有效．
(2)由本题的目标函数与约束条件在形式上的对称性，还可以将上面的条件极大值问题
改为如下的条件极小值问题：求目标函数f(x，y，z)=x²+y²+z²在条件xy²z³=6r²约束下的最小值．只是具体求解起来不如上述方法简单．

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考研数学一

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求当x>0，y>0，z>0时，函数f(x，y，z)=lnx+21ny+3lnz在球面x2+y2+z2=6λ2上的最大值．并证明：对任何正实数a、b、c，不等式ab2c3≤成立．

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