2. 考研
  3. 设二次型xTAx=ax12+2x22－x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，实对称矩阵A满足AB=O，其中B= (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换： (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。

设二次型xTAx=ax12+2x22－x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，实对称矩阵A满足AB=O，其中B= (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换： (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。

admin2017-11-30  32
问题 设二次型xTAx=ax12+2x22－x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，实对称矩阵A满足AB=O，其中B=
(Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换：
(Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。
选项
答案(Ⅰ)二次型对应的实对称矩阵为A=[*]，因为AB=O，所以 [*] 下面求A的特征值 [*] A的特征值为0，6，－6。 当λ=0时，求解线性方程组(0E－A)x=0，解得α1=(1，0，1)T； 当λ=6时，求解线性方程组(6E－A)x=0，解得α2=(－1，－2，1)T； 当λ=－6时，求解线性方程组(－6E－A)x=0，解得α3=(－1，1，1)T。 下将α1，α2，α3单位化 [*] 则二次型在正交变换x=Qy的标准形为f=6y22－6y32，其中 [*] (Ⅱ)矩阵A与B不合同。因为r(A)=2，r(B)=1，由合同的必要条件可知矩阵A与B不合同。
解析
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考研数学三

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