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证明:实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B,使得AB+BTA正定.
证明:实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B,使得AB+BTA正定.
admin
2016-09-19
84
问题
证明:实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B,使得AB+B
T
A正定.
选项
答案
必要性取B=A
-1
,则AB+B
T
A=E+(A
-1
)
T
A=2E,所以AB+B
T
A是正定矩阵. 充分性 用反证法.若A不是可逆矩阵,则r(A)<n,于是存在实向量χ
0
≠0使得Aχ
0
=0.因为A是实对称矩阵,B是实矩阵,于是有 χ
0
T
(AB+B
T
A)χ
0
=(Aχ
0
)
T
Bχ
0
+χ
0
T
B
T
(Aχ
0
)=0, 这与AB+B
T
A是正定矩阵矛盾.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/dtT4777K
0
考研数学三
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