设函数f(x)在[a,b]上连续,函数g(x)在[a,b]上可积,且g(x)>0,证明存在ξ∈[a,b],使得∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx.

admin2019-02-21  19

问题 设函数f(x)在[a,b]上连续,函数g(x)在[a,b]上可积,且g(x)>0,证明存在ξ∈[a,b],使得∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx.

选项

答案∵f(x)在[a,b]上连续 ∴f(x)在[a,b]上取得最大值M和最小值m, 即m≤f(x)≤M,故有∫abmg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤∫abMg(x)dx. 即 m∫abg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤M∫abg(x)dx 又g(x)>0,所以∫abg(x)dx>0, 故[*] 由闭区间上连续函数的介值定理知存在ξ∈[a,b], 使[*] 从而 |f(x)g(x)dx=f(ξ)|g(x)dx.

解析
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