2. 专升本
  3. 设函数f(x)在[a，b]上连续，函数g(x)在[a，b]上可积，且g(x)＞0，证明存在ξ∈[a，b]，使得∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．

设函数f(x)在[a，b]上连续，函数g(x)在[a，b]上可积，且g(x)＞0，证明存在ξ∈[a，b]，使得∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．

admin2019-02-21  17
问题 设函数f(x)在[a，b]上连续，函数g(x)在[a，b]上可积，且g(x)＞0，证明存在ξ∈[a，b]，使得∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．
选项
答案∵f(x)在[a，b]上连续 ∴f(x)在[a，b]上取得最大值M和最小值m， 即m≤f(x)≤M，故有∫abmg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤∫abMg(x)dx． 即 m∫abg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤M∫abg(x)dx 又g(x)＞0，所以∫abg(x)dx＞0， 故[*] 由闭区间上连续函数的介值定理知存在ξ∈[a，b]， 使[*] 从而 ｜f(x)g(x)dx=f(ξ)｜g(x)dx．
解析
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