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(Ⅰ)求方程组(*)的基础解系和通解。 (Ⅱ)问参数a,b,c满足什么条件时,方程组(*)和(**)是同解方程组?
(Ⅰ)求方程组(*)的基础解系和通解。 (Ⅱ)问参数a,b,c满足什么条件时,方程组(*)和(**)是同解方程组?
admin
2018-03-30
77
问题
(Ⅰ)求方程组(*)的基础解系和通解。
(Ⅱ)问参数a,b,c满足什么条件时,方程组(*)和(**)是同解方程组?
选项
答案
(Ⅰ)方程组(*)的系数矩阵 [*] 已是阶梯形.求得基础解系ξ
1
=(一1,2,一1,1,0)
T
,ξ
2
=(一1,一2,1,0,1)
T
,方程组通解为 k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
=k
1
[*],其中k
1
,k
2
为任意常数. (Ⅱ) 法一 方程组(*)和(**)是同解方程组,将ξ
1
=[*]代入方程组(**)的第1,2个方程,由 [*] 显然,ξ
1
也满足方程组(**)的第3个方程. 将ξ
2
=[*]代入方程组(**)的第3个方程,由3×(一1)+(一2)+1+c=0,得c=4. 显然,ξ
2
也满足方程组(**)的第1,2个方程. 故知,当a=一1,b=一2,c=4时,由解的性质知方程组(*)的解全部是方程组(**)的解. 反之,当a=一1,b=一2,c=4时,方程组(**)的系数矩阵 [*] 方程组(**)的未知量个数n=5,方程组(**)的基础解系由两个线性无关解组成,已验算方程组(*)的解全部是方程组(**)的解.故方程组(**)的解也全部是方程组(*)的解,方程组(*)和(**)是同解方程组. 法二 方程组(*)和方程组(**)是同解方程组,方程组(*)和方程组(**)的系数行向量是等价向量组,可以相互表示,记方程组(*)的3个行向量为α
1
,α
2
,α
3
,方程组(**)的3个行向量为β
1
,β
2
,β
3
,将(α
1
T
,α
2
T
,α
3
T
,β
1
T
,β
2
T
,β
3
T
)作初等行变换,化成阶梯形,得 [*] 当a=一1,b=一2,c=4时,β
1
,β
2
,β
3
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示. 反之,当a=一1,b=一2,c=4时,因 [*] r(β
1
T
,β
2
T
,β
3
T
)=r(α
1
T
,α
2
T
,α
3
T
,β
1
T
,β
2
T
,β
3
T
)=3,可知α
1
,α
2
,α
3
也可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示. 故当a=一1,b=一2,c=4时,方程组(*)和方程组(**)是同解方程组.
解析
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考研数学三
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