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  3. (Ⅰ)求方程组(*)的基础解系和通解。 (Ⅱ)问参数a，b，c满足什么条件时，方程组(*)和(**)是同解方程组?

(Ⅰ)求方程组(*)的基础解系和通解。 (Ⅱ)问参数a，b，c满足什么条件时，方程组(*)和(**)是同解方程组?

admin2018-03-30  62
问题
(Ⅰ)求方程组(*)的基础解系和通解。
(Ⅱ)问参数a，b，c满足什么条件时，方程组(*)和(**)是同解方程组?
选项
答案(Ⅰ)方程组(*)的系数矩阵 [*] 已是阶梯形．求得基础解系ξ1=(一1，2，一1，1，0)T，ξ2=(一1，一2，1，0，1)T，方程组通解为 k1ξ1+k2ξ2=k1[*]，其中k1，k2为任意常数． (Ⅱ) 法一 方程组(*)和(**)是同解方程组，将ξ1=[*]代入方程组(**)的第1，2个方程，由 [*] 显然，ξ1也满足方程组(**)的第3个方程． 将ξ2=[*]代入方程组(**)的第3个方程，由3×(一1)+(一2)+1+c=0，得c=4． 显然，ξ2也满足方程组(**)的第1，2个方程． 故知，当a=一1，b=一2，c=4时，由解的性质知方程组(*)的解全部是方程组(**)的解． 反之，当a=一1，b=一2，c=4时，方程组(**)的系数矩阵 [*] 方程组(**)的未知量个数n=5，方程组(**)的基础解系由两个线性无关解组成，已验算方程组(*)的解全部是方程组(**)的解．故方程组(**)的解也全部是方程组(*)的解，方程组(*)和(**)是同解方程组． 法二 方程组(*)和方程组(**)是同解方程组，方程组(*)和方程组(**)的系数行向量是等价向量组，可以相互表示，记方程组(*)的3个行向量为α1，α2，α3，方程组(**)的3个行向量为β1，β2，β3，将(α1T，α2T，α3T，β1T，β2T，β3T)作初等行变换，化成阶梯形，得 [*] 当a=一1，b=一2，c=4时，β1，β2，β3可由α1，α2，α3线性表示． 反之，当a=一1，b=一2，c=4时，因 [*] r(β1T，β2T，β3T)=r(α1T，α2T，α3T，β1T，β2T，β3T)=3，可知α1，α2，α3也可由β1，β2，β3线性表示． 故当a=一1，b=一2，c=4时，方程组(*)和方程组(**)是同解方程组．
解析
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考研数学三

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