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设函数f(x)在[1,+∞)上可导,f(1)=一2。f’(ex+1)=3e2x一3. (I)求f(x)的表达式; (Ⅱ)求由x=1,x=2,y=f(x)及x轴所围成的图形分别绕x轴、x=2旋转一周所成旋转体的体积.
设函数f(x)在[1,+∞)上可导,f(1)=一2。f’(ex+1)=3e2x一3. (I)求f(x)的表达式; (Ⅱ)求由x=1,x=2,y=f(x)及x轴所围成的图形分别绕x轴、x=2旋转一周所成旋转体的体积.
admin
2020-09-23
17
问题
设函数f(x)在[1,+∞)上可导,f(1)=一2。f’(e
x
+1)=3e
2x
一3.
(I)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)求由x=1,x=2,y=f(x)及x轴所围成的图形分别绕x轴、x=2旋转一周所成旋转体的体积.
选项
答案
(I)令e
x
+1=t,则e
x
=t一1,从而f’(t)=3(t一1)
2
一3,即f’(t)=3t
2
一6t,上式两边对t积分,得 f(t)=t
3
一3t
2
+C, 由f(1)=-2,得C=0,所以f(t)=t
3
一3t
2
,即f(x)=x
3
一3x
2
. (Ⅱ)由x=1,x=2,y=f(x)及x轴围成的图形如下图(见下页)所示,该图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为 V
x
=∫
1
2
π(x
3
-3x
2
)
2
dx=[*] 该图形绕x=2旋转一周所成旋转体的体积为 V
x=2
=∫
1
2
2π(2一x)(3x
2
-x
3
)dx=[*] [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/e0v4777K
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考研数学一
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