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设函数fn(χ)=1+χ-(n∈N+) (1)研究函数f2(χ)的单调性。 (2)判断方程fn(χ)=0的实解个数,并证明.
设函数fn(χ)=1+χ-(n∈N+) (1)研究函数f2(χ)的单调性。 (2)判断方程fn(χ)=0的实解个数,并证明.
admin
2015-11-09
59
问题
设函数f
n
(χ)=1+χ-
(n∈N
+
)
(1)研究函数f
2
(χ)的单调性。
(2)判断方程f
n
(χ)=0的实解个数,并证明.
选项
答案
(1)f
2
(χ)=1+χ-[*],因为f′
2
(χ)=χ
2
-χ+1=[*]>0恒成立,所以f
2
(χ)单调递增. (2)实解个数为1. 证明:因为f
2
(χ)单调递增恒成立,且f
2
(-1)=-[*]<0,f
2
(0)=1>0, 所以f
2
(χ)在R上有一个零点. [*] 令g
n
(χ)=[*](n∈N
+
), 则g′
n
(χ)=χ
2n-2
-χ
2n-3
=χ
2n-3
(χ-1), g′
n
(χ)=0,则χ=0或χ=1, 所以g
n
(χ)在(-∞,0)∪(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减 故g
n
(χ)的最大值在χ=0处取得,为0,最小值在χ=1处取得,为-[*]. 当χ=1时,[*][f
2
(χ)+g
2
(χ)+g
3
(χ)+…+g
n
(χ)]>0, 所以f
n
(χ)在R上单调递增, 所以f
n
(χ)只有一个零点,即只有一个实数解.
解析
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