设函数fn(χ)=1+χ-(n∈N+) (1)研究函数f2(χ)的单调性。 (2)判断方程fn(χ)=0的实解个数,并证明.

admin2015-11-09  34

问题 设函数fn(χ)=1+χ-(n∈N+)
    (1)研究函数f2(χ)的单调性。
    (2)判断方程fn(χ)=0的实解个数,并证明.

选项

答案(1)f2(χ)=1+χ-[*],因为f′2(χ)=χ2-χ+1=[*]>0恒成立,所以f2(χ)单调递增. (2)实解个数为1. 证明:因为f2(χ)单调递增恒成立,且f2(-1)=-[*]<0,f2(0)=1>0, 所以f2(χ)在R上有一个零点. [*] 令gn(χ)=[*](n∈N+), 则g′n(χ)=χ2n-2-χ2n-3=χ2n-3(χ-1), g′n(χ)=0,则χ=0或χ=1, 所以gn(χ)在(-∞,0)∪(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减 故gn(χ)的最大值在χ=0处取得,为0,最小值在χ=1处取得,为-[*]. 当χ=1时,[*][f2(χ)+g2(χ)+g3(χ)+…+gn(χ)]>0, 所以fn(χ)在R上单调递增, 所以fn(χ)只有一个零点,即只有一个实数解.

解析
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