设函数fn(χ)＝1＋χ－(n∈N+) (1)研究函数f2(χ)的单调性。 (2)判断方程fn(χ)＝0的实解个数，并证明．

admin2015-11-09 59

问题设函数f_n(χ)＝1＋χ－

(n∈N₊)
(1)研究函数f₂(χ)的单调性。
(2)判断方程f_n(χ)＝0的实解个数，并证明．

选项

答案(1)f₂(χ)＝1＋χ－[*]，因为f′₂(χ)＝χ²－χ＋1＝[*]＞0恒成立，所以f₂(χ)单调递增． (2)实解个数为1．证明：因为f₂(χ)单调递增恒成立，且f₂(－1)＝－[*]＜0，f₂(0)＝1＞0，所以f₂(χ)在R上有一个零点． [*] 令g_n(χ)＝[*](n∈N₊)，则g′_n(χ)＝χ^2n-2－χ^2n-3＝χ^2n-3(χ－1)， g′_n(χ)＝0，则χ＝0或χ＝1，所以g_n(χ)在(－∞，0)∪(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减故g_n(χ)的最大值在χ＝0处取得，为0，最小值在χ＝1处取得，为－[*]．当χ＝1时，[*][f₂(χ)＋g₂(χ)＋g₃(χ)＋…＋g_n(χ)]＞0，所以f_n(χ)在R上单调递增，所以f_n(χ)只有一个零点，即只有一个实数解．

解析

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