2. 考研
  3. 设a，b，c为实数，求证：曲线y=ex与y=ax2+bx+c的交点不超过三个．

设a，b，c为实数，求证：曲线y=ex与y=ax2+bx+c的交点不超过三个．

admin2016-10-26  47
问题 设a，b，c为实数，求证：曲线y=ex与y=ax2+bx+c的交点不超过三个．
选项
答案令f(x)=ex－ax2－bx－c，那么问题等价于证明f(x)的零点不超过三个．假设结论不正确，则至少有四个点x1＜x2＜x3＜x4，使得f(xi)=0，i=1，2，3，4． 由于f(x)在[x1，x4]上可导，由罗尔定理可知f′(x)在(x1，x2)，(x2，x3)，(x3，x4)内至少各有一个零点ξ1，ξ2，ξ3．又由于f′(x)在[ξ1，ξ3]上可导，由罗尔定理可知f″(x)在(ξ1，ξ2)，(ξ2，ξ3)内至少各有一个零点η1，η2．同样地，由于f″(x)在[η1，η2]上可导，由罗尔定理可知[*](x)在(η1，η2)内至少有一个零点ζ．因此至少存在一点ζ∈(－∞，+∞)使得[*](x)=ex＞0(x∈(－∞，+∞))，这就产生了矛盾．故f(x)的零点不超过三个．
解析 问题等价于f(x)=ex－ax2－bx－c的零点不超过三个．根据罗尔定理，可导函数的任何两个零点之间至少存在一个导函数的零点．因此本题需要用反证法．
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