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设a,b,c为实数,求证:曲线y=ex与y=ax2+bx+c的交点不超过三个.
设a,b,c为实数,求证:曲线y=ex与y=ax2+bx+c的交点不超过三个.
admin
2016-10-26
63
问题
设a,b,c为实数,求证:曲线y=e
x
与y=ax
2
+bx+c的交点不超过三个.
选项
答案
令f(x)=e
x
-ax
2
-bx-c,那么问题等价于证明f(x)的零点不超过三个.假设结论不正确,则至少有四个点x
1
<x
2
<x
3
<x
4
,使得f(x
i
)=0,i=1,2,3,4. 由于f(x)在[x
1
,x
4
]上可导,由罗尔定理可知f′(x)在(x
1
,x
2
),(x
2
,x
3
),(x
3
,x
4
)内至少各有一个零点ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
.又由于f′(x)在[ξ
1
,ξ
3
]上可导,由罗尔定理可知f″(x)在(ξ
1
,ξ
2
),(ξ
2
,ξ
3
)内至少各有一个零点η
1
,η
2
.同样地,由于f″(x)在[η
1
,η
2
]上可导,由罗尔定理可知[*](x)在(η
1
,η
2
)内至少有一个零点ζ.因此至少存在一点ζ∈(-∞,+∞)使得[*](x)=e
x
>0(x∈(-∞,+∞)),这就产生了矛盾.故f(x)的零点不超过三个.
解析
问题等价于f(x)=e
x
-ax
2
-bx-c的零点不超过三个.根据罗尔定理,可导函数的任何两个零点之间至少存在一个导函数的零点.因此本题需要用反证法.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/e1u4777K
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考研数学一
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