曲面x2+y2+z2=2z之内以及曲面z=x2+y2之外所围成的立体的体积V等于( )。

admin2019-10-11  29

问题 曲面x2+y2+z2=2z之内以及曲面z=x2+y2之外所围成的立体的体积V等于(    )。

选项 A、∫0dθ∫01rdr
B、∫0dθ∫0trdr
C、∫0dθ∫0rrdr∫r1-rdz
D、∫0dθ∫01rdr

答案D

解析 记曲面x2+y2+z2=2z之内以及曲面z=x2+y2之外所围成的立体为Ω,Ω的图形如题12解图所示,

Ω的体积V=dV。因Ω在xOy面的投影是圆域x2+y2≤1,所以有:0≤θ≤2π。z是从球面x2+y2+z2=2z的下半部到抛物面z=x2+y2,化为柱坐标有:≤z≤r2,故原积分化为柱坐标下的三重积分有:
V==∫0dθ∫01rdr
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