设二维非零向量口不是二阶方阵A的特征向量．若A2a＋Aa－6a＝0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

admin2020-03-10 77

问题设二维非零向量口不是二阶方阵A的特征向量．
若A²a＋Aa－6a＝0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

选项

答案由A²a＋Aa－6a＝0，得(A²＋A－6E)a＝0，因为a≠0，所以r(A²＋A－6E)＜2，从而｜A²＋A－6E｜＝0，即｜3E＋A｜·｜2E－A｜＝0，则｜3E＋A｜＝0或｜2E－A｜＝0．若｜3E＋A｜≠0，则3E＋A可逆，由(3E＋A)(2E－A)a＝0，得(2E－A)a＝0，即Aa＝2a，矛盾；若｜2E－A｜≠0，则2E－A可逆，由(2E－A)(3E＋A)a＝0，得(3E＋A)a＝0，即Aa＝－3a，矛盾，所以有｜3E＋A｜＝0且｜2E－A｜＝0，于是二阶矩阵A有两个特征值－3，2，故A可对角化．

解析

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考研数学三

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