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假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y=一1}=,P{Y=1}=。求: V=|X一Y|的概率密度fV(v)。
假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y=一1}=,P{Y=1}=。求: V=|X一Y|的概率密度fV(v)。
admin
2019-01-19
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问题
假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y=一1}=
,P{Y=1}=
。求:
V=|X一Y|的概率密度f
V
(v)。
选项
答案
由于V=|X—Y|只取非负值,因此当v<0时,其分布函数F
V
(v)=P{|X—Y|≤v} =0;当v≥0时, F
V
(v)=P{一v≤X一Y≤v} =P{Y=一1}P{一v≤X—Y≤v|Y=一1}+P{Y=1}P{一v≤X—Y≤v|Y=1} =[*]P{一v一1≤X≤v一1|Y=一1}+[*]P{一v+1≤X≤v+1|Y=1} =[*]P{一v一1≤X≤v一1}+[*]P{一v+1≤X≤v+1} =[*][Φ(v一1)一Φ(一v一1)]+[*][Φ(v+1)一Φ(一v+1)] =[*]Φ(v一1)一[*][1一Φ(v+1)]+[*]Φ(v+1)一[*]-[1一Φ(v一1)] =Φ(v一1)+Φ(v+1)一1。 综上计算可得, F
V
(v)=[*] 由于F
V
(v)是连续函数,且除个别点外,导数都是存在的,所以V的概率密度为 [*]
解析
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考研数学三
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