2. 考研
  3. 设F(x)=(x2-t)f(t)dt，其中f(x)二阶可导，求F’(x)，F”(x)，F’’’(x)的表达式．

设F(x)=(x2-t)f(t)dt，其中f(x)二阶可导，求F’(x)，F”(x)，F’’’(x)的表达式．

admin2022-06-04  7
问题 设F(x)=(x2-t)f(t)dt，其中f(x)二阶可导，求F’(x)，F”(x)，F’’’(x)的表达式．
选项
答案因为F(x)=[*](x2-t)f(t)dt=x2[*]f(t)dt-[*]tf(t)dt．由变上限积分的求导公式得 F’(x)=2x[*]f(t)dt+x2[2f(2x)-2xf(x2)]-[4xf(2x)-2x3f(x2)] =2x[*]f(t)dt+2(x2-2x)f(2x) F”(x)=2[*]f(t)dt+2x[2f(2x)-2xf(x2)]+4(x-1)f(2x)+4(x2-2x)f’(2x) =2[*]f(t)dt+4(2x-1)f(2x)-4x2f(x2)+4(x2-2x)f’(2x) F”(x)=2[2f(2x)-2xf(x2)]+8f(2x)+8(2x-1)f’(2x)-8xf(x2) -8x2f’(x2)+8(x-1)f’(2x)+8(x2-2x)f”(2x) =12f(2x)-12xf(x2)+8(3x-2)f’(2x)-8x3f’(x2)+8(x2-2x)f”(2x)
解析
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考研数学二

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