设F(x)=(x2-t)f(t)dt，其中f(x)二阶可导，求F’(x)，F”(x)，F’’’(x)的表达式．

admin2022-06-04 4

问题设F(x)=

(x²-t)f(t)dt，其中f(x)二阶可导，求F’(x)，F”(x)，F’’’(x)的表达式．

选项

答案因为F(x)=[*](x²-t)f(t)dt=x²[*]f(t)dt-[*]tf(t)dt．由变上限积分的求导公式得 F’(x)=2x[*]f(t)dt+x²[2f(2x)-2xf(x²)]-[4xf(2x)-2x³f(x²)] =2x[*]f(t)dt+2(x²-2x)f(2x) F”(x)=2[*]f(t)dt+2x[2f(2x)-2xf(x²)]+4(x-1)f(2x)+4(x²-2x)f’(2x) =2[*]f(t)dt+4(2x-1)f(2x)-4x²f(x²)+4(x²-2x)f’(2x) F”(x)=2[2f(2x)-2xf(x²)]+8f(2x)+8(2x-1)f’(2x)-8xf(x²) -8x²f’(x²)+8(x-1)f’(2x)+8(x²-2x)f”(2x) =12f(2x)-12xf(x²)+8(3x-2)f’(2x)-8x³f’(x²)+8(x²-2x)f”(2x)

解析

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