设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线,M(x,y)为该曲线上任意一点,点C为M在x轴上的投影,O为坐标原点.若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为,求f(x)的表达式.

admin2016-03-02  22

问题 设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线,M(x,y)为该曲线上任意一点,点C为M在x轴上的投影,O为坐标原点.若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为,求f(x)的表达式.

选项

答案据题意可知[*](f(x)+1)+[*]f(t)dt=[*]在上式两边同时对x求导数得 [*](f(x)+1)+[*]x2 当x≠0时,可得一阶线性微分方程f′(x)一[*]f(x)=[*] 由通解公式为f(x)=[*]dx+C] =x[*]+C)=x2+Cx+1 又因f(1)=0,所以可得C=-2,因此所求f(x)=x2一2x+1

解析
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