具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是 ( )

admin2017-10-12 53

问题具有特解y₁=e^-x，y₂=2xe^-x，y₃=3e^x的三阶常系数齐次线性微分方程是 ( )

选项 A、y"’一y"一y’+y=0
B、y"’+y"一y’一y=0
C、y"’一6y"+11y’一6y=0
D、y"’一2y"一y’+2y=0

答案B

解析根据题设条件，1，一1是特征方程的两个根，且一1是重根，所以特征方程为 (λ一1)(λ+1)²=λ³+λ²一λ一1=0，故所求微分方程为y"’+y"一y’一y=0，故选(B)．
或使用待定系数法，具体为：
设所求的三阶常系数齐次线性微分方程是
y"’+ay"+b’+cy=0．
由于y₁=e^-x，y₂=2xe^-x，y₃=3e^x是上述方程的解，所以将它们代入方程后得

解得a=1，b=一1，C=一1。
故所求方程为y"’+y"一y’一y=0，即选项(B)正确．

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