设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得QTAQ=且A*α=α． (Ⅰ)求正交矩阵Q； (Ⅱ)求矩阵A．

admin2014-12-17 71

问题设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得Q^TAQ=

且A*α=α．
(Ⅰ)求正交矩阵Q；
(Ⅱ)求矩阵A．

选项

答案(Ⅰ)显然A的特征值为λ₁=λ₂=一1，λ₃=2，A^*的特征值为μ₁=μ₂=-2，μ₃=1．因为α为A^*的属于特征值μ₃=1的特征向量。所以α是A的属于特征值λ₃=2的特征向量，令α=α₃．令A的属于特征值λ₁=λ₂=一1的特征向量为ξ=[*]因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以一x₁一x₂+x₃=0，则A的属于特征值λ₁=λ₂=-1的线性无关的特征向量为[*][*]

解析

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考研数学三

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