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设二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12-y22-y33,又A*α=α,其中α=(1,1,-1)T. (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)求正交矩阵Q,使得经过正交变换X=QY,二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAX化
设二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12-y22-y33,又A*α=α,其中α=(1,1,-1)T. (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)求正交矩阵Q,使得经过正交变换X=QY,二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAX化
admin
2017-03-06
69
问题
设二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=X
T
AX经过正交变换化为标准形f=2y
1
2
-y
2
2
-y
3
3
,又A
*
α=α,其中α=(1,1,-1)
T
.
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)求正交矩阵Q,使得经过正交变换X=QY,二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=X
T
AX化为标准形.
选项
答案
(Ⅰ)显然A的特征值为λ
1
=2,λ
2
=-1,λ
3
=-1,|A|=2,伴随矩阵A
*
的特征值为μ
1
=1,μ
2
=-2,μ
3
=-2.由A
*
α=α得AA
*
α=Aα,即Aα=2α,即α=(1,1,-1)
T
是矩阵A的对应于特征值λ
1
=2的特征向量. 令ξ=(χ
1
,χ
2
,χ
3
)
T
为矩阵A的对应于特征值λ
2
=-1,λ
3
=-1的特征向量,因为A为实对称矩阵,所以α
T
ξ=0,即χ
1
+χ
2
-χ
3
=0,于是λ
2
=-1,λ
3
=-1对应的线性无关的特征向量为 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eibD777K
0
考研数学二
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