2. 考研
  3. 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝2y12－y22－y33，又A*α＝α，其中α＝(1，1，－1)T． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X＝QY，二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX化

设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝2y12－y22－y33，又A*α＝α，其中α＝(1，1，－1)T． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X＝QY，二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX化

admin2017-03-06  81
问题 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝2y12－y22－y33，又A*α＝α，其中α＝(1，1，－1)T．
    (Ⅰ)求矩阵A；
    (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X＝QY，二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX化为标准形．
选项
答案(Ⅰ)显然A的特征值为λ1＝2，λ2＝－1，λ3＝－1，｜A｜＝2，伴随矩阵A*的特征值为μ1＝1，μ2＝－2，μ3＝－2．由A*α＝α得AA*α＝Aα，即Aα＝2α，即α＝(1，1，－1)T是矩阵A的对应于特征值λ1＝2的特征向量． 令ξ＝(χ1，χ2，χ3)T为矩阵A的对应于特征值λ2＝－1，λ3＝－1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以αTξ＝0，即χ1＋χ2－χ3＝0，于是λ2＝－1，λ3＝－1对应的线性无关的特征向量为 [*]
解析
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考研数学二

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