设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明下列结论： (1)aij=AijATA=E且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E且｜A｜=－1．

admin2016-09-19 44

问题设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为A中元素a_ij的代数余子式，证明下列结论：
(1)a_ij=A_ij<=>A^TA=E且｜A｜=1；
(2)a_ij=－A_ij<=>A^TA=E且｜A｜=－1．

选项

答案(1)当a_ij=A_ij时，有A^T=A^*，则A^TA=AA^*=｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，所以tr(AA^T)=[*]a_ij²＞0．而tr(AA^T)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，这说明｜A｜＞0．在AA^T=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜^n－2=1，｜A｜=1．反之，若A^TA=E且｜A｜=1，则A^*A=｜A｜E=E且A可逆，于是，A^TA=A^*A，A^T=A^*，即a_ij=A_ij． (2)当a_ij=－A_ij时，有A^T=－A^*，则A^TA=－A^*A=－｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，所以｜A｜=[*]＜0．在A^TA=－｜A｜E两边取行列式得｜A｜=－1．反之，若A^TA=E且｜A｜=－1，由于A^*A=｜A｜E=－E，于是，A^TA=－A^*A．进一步，由于A可逆，得A^T=－A^*，即a_ij=－A_ij．

解析

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考研数学三

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设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明下列结论： (1)aij=AijATA=E且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E且｜A｜=－1．

考研数学三

A、 B、 C、 D、 A

设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是()．

一个均匀的四面体，其第一面染红色，第二面染白色，第三面染黑色，而第四面染红、白、黑三种颜色，以A、B、C分别记投掷一次四面体，底面出现红、白、黑的三个事件，判断A、B、C是否两两独立，是否相互独立．

设α1，α2，…，αr，β都是n维向量，β可由α1，α2，…，αr线性表示，但β不能由α1，α2，…，αr-1线性表示，证明：αr可由α1，α2，…，αr-1，β线性表示．

袋中有a只黑球，b只白球，现把球一只一只摸出，求第k次摸出黑球的概率(1≤k≤a+b)．

设有向量组α1=(1，3，2，0)，α2=(7，0，14，3)，α3=(2，-1，0，1)，α4=(5，1，6，2)，α5=(2，-1，4，1)，求：(1)向量组的秩；(2)求此向量组的一个极大线性无关组，并把其余的向量分别用该极大无关组线性表示．

设向量组B：β1，β2，…，βr能由向量组A：α1，α2，…，αs线性表示为：其中，K为r×s矩阵，且向量组A线性无关，证明：向量组B线性无关的充要条件是矩阵K的秩r(K)=r．

验证函数u＝e－kn2tsinnx满足热传导方程ut＝kuxx．

若α1，α2，α3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式丨α1，α2，α3，β1丨=m，丨α1，α2，β2，α3丨=n，则4阶行列式丨α3，α2，α1，β1+β2丨=__________.

根据脏层胸膜破裂口的情况以及胸膜腔内压力变化可将自发性气胸分为交通性气胸、_气胸和_气胸三种类型。

下列哪项不是自动化分析仪的特点

男，30岁，因煤气中毒1天后进医院，神志不清，两瞳孔等大，光反应弱，体温、血压正常，两肺呼吸音粗，心率70次/分，律齐，腹部无异常体征，病理反射(一)，血尿常规正常。为防治并发症和后发症，临床应尽可能地

A．周围神经炎和肝损害B．肝损害和致畸胎作用C．视神经炎和肝损害D．肝损害和关节痛E．肾功能损害异烟肼的不良反应是

概率求和原则是指如果一种危险物具有多种事故形态，且它们的事故后果(　)，则按统计平均原理估计事故后果。

并非所有的代理活动都属于代理制的范围。代理制作为代理行为的制度化和民法中的一项独立的法律制度，其形成需要具备的条件不包括()。

A公司2012年12月31日“预计负债一产品质量保证费用”科目贷方余额为100万元．2013年实际发生产品质量保证费用60万元，2013年12月31日预提产品质量保证费用80万元，2013年12月31日该项预计负债的计税基础为()万元。

导游讲解的内容、景点和事物都必须以事实为依据，不要言过其实和弄虚作假，更不要信口开河。这说明导游讲解应()。

将表"学生名单2"的记录复制到表"学生名单1"中，且不删除表"学生名单1"中的记录，可使用的查询方式是

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概率求和原则是指如果一种危险物具有多种事故形态，且它们的事故后果( )，则按统计平均原理估计事故后果。

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将表"学生名单2"的记录复制到表"学生名单1"中，且不删除表"学生名单1"中的记录，可使用的查询方式是

根据脏层胸膜破裂口的情况以及胸膜腔内压力变化可将自发性气胸分为交通性气胸、_气胸和_气胸三种类型。

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