设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明下列结论： (1)aij=AijATA=E且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E且｜A｜=－1．

admin2016-09-19 64

问题设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为A中元素a_ij的代数余子式，证明下列结论：
(1)a_ij=A_ij<=>A^TA=E且｜A｜=1；
(2)a_ij=－A_ij<=>A^TA=E且｜A｜=－1．

选项

答案(1)当a_ij=A_ij时，有A^T=A^*，则A^TA=AA^*=｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，所以tr(AA^T)=[*]a_ij²＞0．而tr(AA^T)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，这说明｜A｜＞0．在AA^T=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜^n－2=1，｜A｜=1．反之，若A^TA=E且｜A｜=1，则A^*A=｜A｜E=E且A可逆，于是，A^TA=A^*A，A^T=A^*，即a_ij=A_ij． (2)当a_ij=－A_ij时，有A^T=－A^*，则A^TA=－A^*A=－｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，所以｜A｜=[*]＜0．在A^TA=－｜A｜E两边取行列式得｜A｜=－1．反之，若A^TA=E且｜A｜=－1，由于A^*A=｜A｜E=－E，于是，A^TA=－A^*A．进一步，由于A可逆，得A^T=－A^*，即a_ij=－A_ij．

解析

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考研数学三

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设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明下列结论： (1)aij=AijATA=E且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E且｜A｜=－1．

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设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是()．

设α1=(2，-1，3，0)，α2=(1，2，0，-2)，α3=(0，-5，3，4)，α4=(-1，3，t，0)，则________时，α1，α2，α3，α4线性相关．

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如果n个事件A1，A2，…，An相互独立，证明：将其中任何m(1≤m≤n)个事件改为相应的对立事件，形成的新的n个事件仍然相互独立；

设函数f(x)＝(x2－3x＋2)sinx，则方程fˊ(x)＝0在(0，π)内根的个数为()。

设A为3阶矩阵，｜A｜=3，A为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA｜=__________．

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设某种商品的单价为P时，售出的商品数量Q可以表示成其中a、b、c均为正数，且a＞bc．求P在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；

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下列属于我国著名的素餐馆是()。

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有下列程序#include＜stdio．h＞intf(ints){s+=1；s[1]+=6；s+++=7；returns；}main(){inta[5]={1，2，3，4，5}，p；p=f(&a[1])；printf("％

WriteonANSWEERSHEETTWOanoteofabout50～60wordsbasedonthefollowingsituation:Jane,yourclassmate,isthinkingo

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