2. 考研
  3. 两个相互外切的圆同时内切于半径为尺的圆M，连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF，且圆心M到直线EF的距离为2R，求两个小圆的半径，使得这3个圆所围成的平面图形绕直线EF旋转时所得旋转体体积最大．

两个相互外切的圆同时内切于半径为尺的圆M，连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF，且圆心M到直线EF的距离为2R，求两个小圆的半径，使得这3个圆所围成的平面图形绕直线EF旋转时所得旋转体体积最大．

admin2021-04-07  329
问题 两个相互外切的圆同时内切于半径为尺的圆M，连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF，且圆心M到直线EF的距离为2R，求两个小圆的半径，使得这3个圆所围成的平面图形绕直线EF旋转时所得旋转体体积最大．
选项
答案首先计算一个圆绕其外一直线旋转所得旋转体体积V0的通式，建立坐标系如图(a)所示，设圆的半径为a，圆心到转轴的距离为ρ，则圆的方程为x2＋(y－ρ)2＝a2，故有 [*] 现设上面小圆的半径为r，则下面小圆的半径为R－r，且上、下两个小圆的圆心到转轴的距离分别为3R－r，2R－r，如图(b)所示，于是，所述旋转体的体积为 V＝V大－V上－V下 ＝2π2(2R)R2－2π2(3R－r)r2－2π2(2R－r)(R－r)2 ＝2π2(2r3－7Rr2＋5R2r)(0＜r＜R) 令dV／dR＝2π2(6r2－14Rr＋5R2)＝0，可解得r＝[*]这是函数V(r)在其定义域(0，R)内的唯一驻点，因为在该点处[*]，所以当r＝[*]时，函数V(r)取极大值，从而也是最大值。 因此，上、下两个圆的半径分别为r＝[*]，R－r＝[*]时所得旋转体体积最大。
解析
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考研数学二

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