两个相互外切的圆同时内切于半径为尺的圆M，连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF，且圆心M到直线EF的距离为2R，求两个小圆的半径，使得这3个圆所围成的平面图形绕直线EF旋转时所得旋转体体积最大．

admin2021-04-07 330

问题两个相互外切的圆同时内切于半径为尺的圆M，连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF，且圆心M到直线EF的距离为2R，求两个小圆的半径，使得这3个圆所围成的平面图形绕直线EF旋转时所得旋转体体积最大．

选项

答案首先计算一个圆绕其外一直线旋转所得旋转体体积V₀的通式，建立坐标系如图(a)所示，设圆的半径为a，圆心到转轴的距离为ρ，则圆的方程为x²＋(y－ρ)²＝a²，故有 [*] 现设上面小圆的半径为r，则下面小圆的半径为R－r，且上、下两个小圆的圆心到转轴的距离分别为3R－r，2R－r，如图(b)所示，于是，所述旋转体的体积为 V＝V_大－V_上－V_下＝2π²(2R)R²－2π²(3R－r)r²－2π²(2R－r)(R－r)² ＝2π²(2r³－7Rr²＋5R²r)(0＜r＜R) 令dV／dR＝2π²(6r²－14Rr＋5R²)＝0，可解得r＝[*]这是函数V(r)在其定义域(0，R)内的唯一驻点，因为在该点处[*]，所以当r＝[*]时，函数V(r)取极大值，从而也是最大值。因此，上、下两个圆的半径分别为r＝[*]，R－r＝[*]时所得旋转体体积最大。

解析

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考研数学二

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两个相互外切的圆同时内切于半径为尺的圆M，连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF，且圆心M到直线EF的距离为2R，求两个小圆的半径，使得这3个圆所围成的平面图形绕直线EF旋转时所得旋转体体积最大．

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