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  3. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*．证明： (1)若｜A｜=0，则｜A*｜=0． (2)｜A*｜=｜A｜n-1．

设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*．证明： (1)若｜A｜=0，则｜A*｜=0． (2)｜A*｜=｜A｜n-1．

admin2020-11-12  23
问题 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*．证明：
(1)若｜A｜=0，则｜A*｜=0．
(2)｜A*｜=｜A｜n-1．
选项
答案因为AA*=｜A｜E，所以有｜AA｜=｜A｜，从而可得｜A｜｜A｜=｜A｜. (1)若｜A｜=0，则分两种情况． ①若A=0，则A*=O，所以｜A*｜=0； ②若A≠0，则｜A*｜=0．若｜A*｜≠0，则A*可逆，从而可得 A=AE=A[A*(A*)-1]=(AA2)(A2)-1=｜A｜E(A*)-1=O， 与A≠O矛盾，所以｜A*｜=0． (2)当｜A｜≠0时，因为｜A｜｜A*｜=｜A｜n，所以｜A*｜=｜A｜n-1． 由(1)知，若｜A｜=0，也满足｜A*｜=｜A｜n-1，则结论成立．
解析
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考研数学一

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