设n阶矩阵A的伴随矩阵为A．证明： (1)若｜A｜=0，则｜A｜=0． (2)｜A*｜=｜A｜n-1．

admin2020-11-12 37

问题设n阶矩阵A的伴随矩阵为A^*．证明：
(1)若｜A｜=0，则｜A^*｜=0．
(2)｜A^*｜=｜A｜^n-1．

选项

答案因为AA^*=｜A｜E，所以有｜AA｜=｜A｜，从而可得｜A｜｜A｜=｜A｜. (1)若｜A｜=0，则分两种情况． ①若A=0，则A^*=O，所以｜A^*｜=0； ②若A≠0，则｜A^*｜=0．若｜A^*｜≠0，则A^*可逆，从而可得 A=AE=A[A^*(A^*)^-1]=(AA²)(A²)^-1=｜A｜E(A^*)^-1=O，与A≠O矛盾，所以｜A^*｜=0． (2)当｜A｜≠0时，因为｜A｜｜A^*｜=｜A｜ⁿ，所以｜A^*｜=｜A｜^n-1．由(1)知，若｜A｜=0，也满足｜A^*｜=｜A｜^n-1，则结论成立．

解析

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