2. 考研
  3. 设f(x，y)=|x－y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则“φ(0，0)=0”是“f(x，y)在点(0，0)处可微”的 ( )

设f(x，y)=|x－y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则“φ(0，0)=0”是“f(x，y)在点(0，0)处可微”的 ( )

admin2018-07-23  80
问题 设f(x，y)=|x－y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则“φ(0，0)=0”是“f(x，y)在点(0，0)处可微”的    (    )
选项 A、必要条件而非充分条件．
B、充分条件而非必要条件．
C、充分必要条件．
D、既非充分又非必要条件．
答案C
解析 先证充分性．设φ(0，0)=0，由于φ(x， y)在点(0，0)处连续，所以由于

按可微定义，f(x，y)在点O(0，0)处可微，且df(x，y)=0·△x+0·△y，即fxˊ(0，0)=0，fyˊ(0，0) =0．
再证必要性．设f(x，y)在点(0，0)处可微，则fxˊ(0，0)与fyˊ(0，0)必都存在．

其中当x→0+时，取“+”，当x→0－时，取“－”．
由于f(0，0)存在，所以φ(0，0)=－φ(0，0)，从而φ(0，0) =0．证毕．[img][/img]
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考研数学二

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