设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数,且f’(x)g(x)-g’(x)f(x)<0,则当a<x<b时,有( ).

admin2022-06-15  34

问题 设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数,且f’(x)g(x)-g’(x)f(x)<0,则当a<x<b时,有(    ).

选项 A、f(x)g(b)>f(b)g(x)
B、f(x)g(a)>f(a)g(x)
C、f(x)g(x)>f(b)g(b)
D、f(x)g(x)>f(a)g(a)

答案A

解析 f(x),g(x)都为抽象函数,可以先将选项A,B变形:
A可以变形为f(x)/g(x)>f(b)/g(b);
B可以变形为f(x)/g(x)>f(a)/g(a).
由此可得A,B是比较f(x)/g(x)与其两个端点值的大小.
而C,D是比较f(x)g(x)与其两个端点值的大小.
由于题设条件不能转化为[f(x).g(x)]’,而题设f(x)>0,g(x)>0,且f’(x)g(x)-g’(x)f(x)<0,因此有

从而知f(x)/g(x)在[a,b]上为单调减少函数,因此当a<x<b时,有
f(x)/g(x)>f(b)/g(b),
进而知
f(x)g(b)>f(b)g(x).
故选A.
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