设二次型,经过正交变换X=QY化为标准形,求参数a,b及正交矩阵Q.

admin2019-09-29 95

问题设二次型

,经过正交变换X=QY化为标准形

,求参数a,b及正交矩阵Q.

选项

答案[*] 的转置矩阵即为其逆矩阵），于是A的特征值为1,1,4. 而∣λE-A∣=λ³-(a+4)λ²+(4a-b²+2)λ+(-3a-2b+2b²+2),所以有 λ³-（a+4)λ²+(4a-b²+2)λ+(-3a-2b+2b²+2)=(λ-1)²(λ-4),解得 a=2,b=1,当λ₁=λ₂=1时，由（E-A)X=0得ξ₁=[*],当λ₃=4时，由（4E-A)X=0得[*],显然ξ₁，ξ₂，ξ₃两两正交，单位化为 [*]

解析

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