设A,B均为n阶矩阵,且AB=A+B,则 (1)若A可逆,则B可逆 (2)若B可逆,则A+B可逆 (3)若A+B可逆,则AB可逆 (4)A—E恒可逆 上述命题中,正确的命题共有( )

admin2019-02-01  34

问题 设A,B均为n阶矩阵,且AB=A+B,则
(1)若A可逆,则B可逆
(2)若B可逆,则A+B可逆
(3)若A+B可逆,则AB可逆
(4)A—E恒可逆
上述命题中,正确的命题共有(    )

选项 A、1个.
B、2个.
C、3个.
D、4个.

答案D

解析 由AB=A+B,有(A—E)B=A.若A可逆,则|(A—E)B=||A—E|×|B|=|A|≠0,知|B|≠0.即矩阵B可逆,从而命题(1)正确.应用命题(1),由B可逆可得出A可逆,从而AB可逆,那么A+B=AB也可逆,故命题 (2)正确.因为AB=A+B,若A+B可逆,则有AB可逆,即命题(3)正确.对于命题(4),用分组因式分解,即AB一A—B+E=E,则有(A—E)(B一E)=E,所以得A—E恒可逆,命题(4)正确.所以应选D.
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