设g(χ)在[a，b]连续，f(χ)在[a，b]二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且对χ(a≤χ≤b)满f〞(χ)＋g(χ)f′(χ)－f(χ)＝0．求证：f(χ)≡0 (χ∈[a，b])．

admin2016-10-21 42

问题设g(χ)在[a，b]连续，f(χ)在[a，b]二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且对

χ(a≤χ≤b)满f〞(χ)＋g(χ)f′(χ)－f(χ)＝0．求证：f(χ)≡0 (χ∈[a，b])．

选项

答案若f(χ)在[a，b]上不恒为零，则f(χ)在[a，b]取正的最大值或负的最小值．不妨设f(χ₀)＝[*]f(χ)＞0，则χ₀∈(a，b)且f′(χ₀)＝0，f〞(χ₀)≤0[*]f〞(χ₀)＋g(χ₀)f′(χ₀)－f(χ₀)＜0与已知条件矛盾．同理，若f(χ₁)＝[*]f(χ)＜0，同样得矛盾．因此f(χ)≡0([*]χ∈[a，b])．

解析

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考研数学二

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