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设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ).
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ).
admin
2014-07-22
119
问题
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ).
选项
答案
构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x),由题设有F(a)=F(b)=0.不妨设存在x
1
,x
2
∈(a,b),x
1
<x
2
,使得f(x
1
)=M=[*],g(x
2
)=M=[*],于是F(x
1
)=f(x
1
)-g(x
1
)≥0,F(x
2
)-g(x
2
)≤0,从而存在c∈[x
1
,x
2
][675*](a,b),使F(c)=0.在区间[a,c],[c,b]上分别利用罗尔定理知,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0.再对F’(x)在区间[ξ
1
,ξ
2
]上应用罗尔定理,知存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[676*](a,b),有F"(ξ)=0,即f"(ξ)=g"(ξ).
解析
需要证明的结论与导数有关,自然联想到用微分中值定理,事实上,若令F(x)=f(x)-g(x),则问题转化为证明F"(ξ)=0,只需对F’(x)用罗尔定理,大键是找到F’(x)的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点),而利用F(a)-F(b)=0,若能再找一点c∈(a,b),使得F(c)=0,则在区间[a,c],[c,b]上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点,再对F’(x)用罗尔定理即可.
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