首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ).
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ).
admin
2014-07-22
82
问题
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ).
选项
答案
构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x),由题设有F(a)=F(b)=0.不妨设存在x
1
,x
2
∈(a,b),x
1
<x
2
,使得f(x
1
)=M=[*],g(x
2
)=M=[*],于是F(x
1
)=f(x
1
)-g(x
1
)≥0,F(x
2
)-g(x
2
)≤0,从而存在c∈[x
1
,x
2
][675*](a,b),使F(c)=0.在区间[a,c],[c,b]上分别利用罗尔定理知,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0.再对F’(x)在区间[ξ
1
,ξ
2
]上应用罗尔定理,知存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[676*](a,b),有F"(ξ)=0,即f"(ξ)=g"(ξ).
解析
需要证明的结论与导数有关,自然联想到用微分中值定理,事实上,若令F(x)=f(x)-g(x),则问题转化为证明F"(ξ)=0,只需对F’(x)用罗尔定理,大键是找到F’(x)的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点),而利用F(a)-F(b)=0,若能再找一点c∈(a,b),使得F(c)=0,则在区间[a,c],[c,b]上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点,再对F’(x)用罗尔定理即可.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/fR34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
将函数y=sin(2x)展开为带有皮业诺余项的三阶麦克劳林公式为__________.
若f(x)=e2x+x2,则f′(lnx)=___________.
若函数f(x)满足din(1+-4x2)=f(x)darctan(2x),则f(x)=__________.
已知f(x)是可导函数且满足则f′(1)=_________.
若函数y=f(x)的定义域为[0,1],则的定义域为__________.
若则f(x)=().
设f(x)的原函数是F(x)>0,且F(0)=1,当x≥0时有f(x)F(x)=sin2(2x),求F(x).
随机试题
关系模型的特点不包括()
脊髓位于________内,上端在枕骨大孔处连接脑的________;下端成年人约平第________腰椎体下缘。
幼儿对住院反应的主要护理措施,错误的是()
A.凹逆散B.逍遥散C.大柴胡汤D.葛根芩连汤E.小柴胡汤和解少阳,内泻热结的代表方剂是
肉瘤的特点是
A.转移癌B.恶性癌C.交界癌D.癌前病变E.早期癌黑色素瘤属于
效力未定的民事行为的类型包括( )。
下列关于广告主广告部门的职能,说法错误的是()。
2014年7月1日开始实施的《事业单位人事管理条例》指出,对事业单位人员的处分包括:
Thenatureoflightisnotwhollyknown,butitisgenerallybelievedtobematter,asinits(1)______,itobeysthelaws(2)____
最新回复
(
0
)