2. 考研
  3. 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＝g"(ξ)．

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＝g"(ξ)．

admin2014-07-22  103
问题 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＝g"(ξ)．
选项
答案构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，由题设有F(a)＝F(b)＝0．不妨设存在x1，x2∈(a，b)，x1＜x2，使得f(x1)＝M＝[*]，g(x2)＝M＝[*]，于是F(x1)＝f(x1)－g(x1)≥0，F(x2)－g(x2)≤0，从而存在c∈[x1，x2][675*](a，b)，使F(c)＝0．在区间[a，c]，[c，b]上分别利用罗尔定理知，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得F’(ξ1)＝F’(ξ2)＝0．再对F’(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，知存在ξ∈(ξ1，ξ2)[676*](a，b)，有F"(ξ)＝0，即f"(ξ)＝g"(ξ)．
解析 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令F(x)＝f(x)－g(x)，则问题转化为证明F"(ξ)＝0，只需对F’(x)用罗尔定理，大键是找到F’(x)的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)－F(b)＝0，若能再找一点c∈(a，b)，使得F(c)＝0，则在区间[a，c]，[c，b]上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对F’(x)用罗尔定理即可．
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考研数学二

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