设A是三阶非零矩阵,满足A2=0,则线性非齐次方程AX=b的线性无关的解向量个数是( ).

admin2016-11-03  27

问题 设A是三阶非零矩阵,满足A2=0,则线性非齐次方程AX=b的线性无关的解向量个数是(    ).

选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个

答案C

解析 利用下述结论求之.
设AX=0的基础解系为α1,α2,…,αn-r;β为AX=b的一特解,则AX=b共有n-r+1个线性无关的解向量,且β,α1,α2,…,αn-r就是AX=b的n一r+1个线性无关的解.
先求r(A).因A2=A.A=O,故
r(A)+r(A)=2r(A)≤3,
即    r(A)≤3/2,  亦即  r(A)≤1.
又     A≠O,  r(A)≥1,
故    r(A)=1,
从而n-r+1=3-r(A)+1=3-1+1=3,
即AX=b有3个线性无关的解向量.仅(C)入选.
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