2. 考研
  3. 设A是三阶非零矩阵，满足A2=0，则线性非齐次方程AX=b的线性无关的解向量个数是( )．

设A是三阶非零矩阵，满足A2=0，则线性非齐次方程AX=b的线性无关的解向量个数是( )．

admin2016-11-03  41
问题 设A是三阶非零矩阵，满足A2=0，则线性非齐次方程AX=b的线性无关的解向量个数是(    )．
选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
答案C
解析 利用下述结论求之．
设AX=0的基础解系为α1，α2，…，αn－r；β为AX=b的一特解，则AX=b共有n－r+1个线性无关的解向量，且β，α1，α2，…，αn－r就是AX=b的n一r+1个线性无关的解．
先求r(A)．因A2=A.A=O，故
r(A)+r(A)=2r(A)≤3，
即    r(A)≤3／2，  亦即  r(A)≤1．
又     A≠O，  r(A)≥1，
故    r(A)=1，
从而n－r+1=3－r(A)+1=3－1+1=3，
即AX=b有3个线性无关的解向量．仅(C)入选．
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考研数学一

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