设A是三阶非零矩阵，满足A2=0，则线性非齐次方程AX=b的线性无关的解向量个数是( )．

admin2016-11-03 43

问题设A是三阶非零矩阵，满足A²=0，则线性非齐次方程AX=b的线性无关的解向量个数是( )．

选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个

答案C

解析利用下述结论求之．
设AX=0的基础解系为α₁，α₂，…，α_n－r；β为AX=b的一特解，则AX=b共有n－r+1个线性无关的解向量，且β，α₁，α₂，…，α_n－r就是AX=b的n一r+1个线性无关的解．
先求r(A)．因A²=A.A=O，故
r(A)+r(A)=2r(A)≤3，
即 r(A)≤3／2，亦即 r(A)≤1．
又 A≠O， r(A)≥1，
故 r(A)=1，
从而n－r+1=3－r(A)+1=3－1+1=3，
即AX=b有3个线性无关的解向量．仅(C)入选．

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