判断下列结论是否正确,并证明你的判断. (Ⅰ)若χn<yn(n>N),且存在极限χn=A,yn=B,则A<B; (Ⅱ)设f(χ)在(a,b)有定义,又c∈(a,b)使得极限f(χ)=A,则f(χ)在(a,b)有界; (Ⅲ)f(χ)=

admin2016-10-21  31

问题 判断下列结论是否正确,并证明你的判断.
    (Ⅰ)若χn<yn(n>N),且存在极限χn=A,yn=B,则A<B;
    (Ⅱ)设f(χ)在(a,b)有定义,又c∈(a,b)使得极限f(χ)=A,则f(χ)在(a,b)有界;
    (Ⅲ)f(χ)=∞,则>0使得当0<|χ-a|<δ时万有界.

选项

答案(Ⅰ)不正确.在题设下只能保证A≤B,不能保证A<B.例如,χn=[*],yn=[*],则χn<yn,而[*]=0. (Ⅱ)不正确.这时只能保证:[*]点c的一个空心邻域U0(c,δ)={χ|0<|χ-c |<6}使f(χ)在U0(c,δ)中有界,一般不能保证f(χ)在(a,b)有界.例如:f(χ)=[*],(a,b)=(0,1),取定c∈(0,1),则[*],但f(χ)=[*]在(0,1)无界. (Ⅲ)正确.因为[*]=0,由存在极限的函数的局部有界性[*]>0使得当0<|χ-a|<δ时[*]有界.

解析
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