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已知f’’(x)<0,f(0)=0,试证:对任意的两正数x1和x2,恒有f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)成立.
已知f’’(x)<0,f(0)=0,试证:对任意的两正数x1和x2,恒有f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)成立.
admin
2013-09-15
73
问题
已知f
’’
(x)<0,f(0)=0,试证:对任意的两正数x
1
和x
2
,恒有f(x
1
+x
2
)<f(x
1
)+f(x
2
)成立.
选项
答案
令F(x)=f(x+x
2
)-f(x)-f(x
2
), 则F
’
(x)=f
’
(x+x
2
)-f
’
(x)=x
2
f
’’
(x+θx
2
)<0(0<θ<1). 可见F(x)单调减少,又x
1
>0,故F(x
1
)<F(0), 即f(x
1
+x
2
)-f(x
1
)-f(x
2
)<0,也即f(x
1
+x
2
)<f(x
1
)+f(x
2
).
解析
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考研数学二
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