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设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数,且f’(x)≥k>0,f(0)<0,证明:f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点。
设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数,且f’(x)≥k>0,f(0)<0,证明:f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点。
admin
2022-10-08
53
问题
设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数,且f’(x)≥k>0,f(0)<0,证明:f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点。
选项
答案
在[0,+∞)上,由f’(x)≥k>0,得∫
0
x
f’(x)dx≥∫
0
x
kdx,即f(x)≥kx+f(0) 取x
1
>[*]>0,有f(x
1
)>k[[*]]+f(0)=0 因f(x
1
)>0,由题设f(0)<0,根据零点存在定理,必存在x
0
∈(0,x
1
),使得f(x
0
)=0 因f’(x)≥k>0,故f(x)严格单调增加,x∈(0,+∞),所以f(x)在(0,+∞)内仅有一个零点。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/nYR4777K
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考研数学三
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