设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在ξ1，ξ2∈[一a，a]，使得

admin2020-03-10 52

问题设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，

存在．
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；
(2)证明：存在ξ₁，ξ₂∈[一a，a]，使得

选项

答案(1)由[*]存在，得f(0)=0，f’(0)=0，f"(0)=0，则f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为f(x)=[*]，其中ξ介于0与x之间． (2)上式两边积分得[*] 因为f⁽¹⁾(x)在[一a，a]上为连续函数，所以f⁽⁴⁾(x)在[一a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx⁴≤f⁽⁴⁾(ξ)x⁴≤Mx⁴， [*] a⁵f⁽⁴⁾(ξ)=60∫_-a^af(x)dx．再由积分中值定理，存在ξ₂∈[-a，a]，使得 a⁵f⁽⁴⁾(ξ)=60∫_-a^af(x)dx=120af(ξ₂)，即a⁴f⁽⁴⁾(ξ₁)=120f(ξ₂)．

解析

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考研数学三

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