设矩阵则A与B( )

admin2017-12-12 71

问题设矩阵

则A与B( )

选项 A、合同，且相似．
B、合同，但不相似．
C、不合同，但相似．
D、既不合同，也不相似．

答案B

解析本题考查实对称矩阵相似、合同的概念以及判断的方法．
事实上，两个同阶实对称矩阵相似的充要条件是，它们有相同的特征值及对应的重数；而两个同阶实对称矩阵合同的充要条件是，它们有相同的秩和相同的正惯性指数．
由此可知相似的实对称矩阵必合同．
所以选项C肯定错．为判别其他选项，求矩阵A的特征值即可．
因为

即矩阵A的特征值为3，3，0，而矩阵B的特征值为1，1，0，所以矩阵A与B不相似；但A与B的秩均为2，正惯性指数也都是2．
所以它们是合同的．总之．选项B正确．

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