2. 考研
  3. (1999年试题，五)设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)>0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0，x]上以y=y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S

(1999年试题，五)设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)>0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0，x]上以y=y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S

admin2021-01-15  2
问题 (1999年试题，五)设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)>0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0，x]上以y=y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一．S2恒为1，求曲线y=y(x)的方程．
选项
答案根据题设，建立相应的微分方程并求解．由已知，在曲线y=y(x)上点(x，y)处的切线方程为Y一y=y’(x)(X一x)，与x轴交点为[*]因为y(0)=1且y’(x)>0，则由函数导数符号与其单调性之间的关系知当x>0时，y(x)>0．又由题设，有[*]而已知2S1一S2=1，则[*](1);(1)式对x求导，并化简得yy’’=(y’)2(2)又由(1)式知y’(0)=1，从而曲线y(x)满足方程(2)及初始条件y(0)=y’(0)=1，令P=y’，则微分方程(2)化为[*]分离变量得[*]从而p=C1y，即[*]．再分离变量得[*]积分得V=eC1+C2将y(0)=y’(0)=1，代入，可解得C1=1，C2=0，因此y(x)=ex．
解析 本题综合考查了曲线的切线、曲边梯形的面积、变上限函数求导、二阶可降阶微分方程的解法等知识点，有一定的难度和计算量．
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考研数学一

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