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设函数f(x)=1+x一(n∈N+) (1)研究函数f2(x)的单调性; (2)判断方程fn(x)=0的实解个数,并证明.
设函数f(x)=1+x一(n∈N+) (1)研究函数f2(x)的单调性; (2)判断方程fn(x)=0的实解个数,并证明.
admin
2017-01-14
54
问题
设函数f(x)=1+x一
(n∈N
+
)
(1)研究函数f
2
(x)的单调性;
(2)判断方程f
n
(x)=0的实解个数,并证明.
选项
答案
f
2
(x)=1+x—[*]>0恒成立,所以f
2
(x)单调递增. (2)实解个数为1. 证明:因为f
2
(x)单调递增恒成立,且f
2
(一1)=一[*]<0,f
2
(0)=1>0, 所以f
2
(x)在R上有一个零点. [*] 则g’
n
(x)=x
2n—2
—x
2n—3
=x
2n—3
(x—1), g’
n
(x)=0,则x=0或x=1, 所以g
n
(x)在(一∞,0)∪(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减 故g
n
(x)的最大值在x=0处取得,为0,最小值在x=1处取得,为[*]. 当x=1时,[*][f
2
(x)+g
2
(x)+g
3
(x)+…+g
n
(x)]>0, 所以f
n
(x)在R上单调递增, 所以f
n
(x)只有一个零点,即只有一个实数解.
解析
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