设函数f(x)=1+x一(n∈N+) (1)研究函数f2(x)的单调性; (2)判断方程fn(x)=0的实解个数,并证明.

admin2017-01-14  36

问题 设函数f(x)=1+x一(n∈N+)
    (1)研究函数f2(x)的单调性;
    (2)判断方程fn(x)=0的实解个数,并证明.

选项

答案f2(x)=1+x—[*]>0恒成立,所以f2(x)单调递增. (2)实解个数为1. 证明:因为f2(x)单调递增恒成立,且f2(一1)=一[*]<0,f2(0)=1>0, 所以f2(x)在R上有一个零点. [*] 则g’n(x)=x2n—2—x2n—3=x2n—3 (x—1), g’n(x)=0,则x=0或x=1, 所以gn(x)在(一∞,0)∪(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减 故gn(x)的最大值在x=0处取得,为0,最小值在x=1处取得,为[*]. 当x=1时,[*][f2(x)+g2(x)+g3(x)+…+gn(x)]>0, 所以fn(x)在R上单调递增, 所以fn(x)只有一个零点,即只有一个实数解.

解析
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