已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．

admin2021-11-09 45

问题已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AA^T是对称阵，并且AA^T正定的充要条件是r(A)=m．

选项

答案由(AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T，所以AA^T是对称阵．必要性若AA^T正定，r(AA^T)=m≤r(A)，又r(Am×n₂)≤m，故r(A)=m．充分性若r(A)=m，则齐次方程组A^TX=0只有零解，故对任意x≠O，均有A^TX≠0，故 X^TAA^TX=(A^TX)^T(A^TX)＞0，即AA^T正定．

解析

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