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  3. 已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．

已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．

admin2021-11-09  65
问题 已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．
选项
答案由(AAT)T=(AT)TAT=AAT，所以AAT是对称阵． 必要性若AAT正定，r(AAT)=m≤r(A)，又r(Am×n2)≤m，故r(A)=m． 充分性若r(A)=m，则齐次方程组ATX=0只有零解，故对任意x≠O，均有ATX≠0，故 XTAATX=(ATX)T(ATX)＞0， 即AAT正定．
解析
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考研数学二

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