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设a1=1,当n≥1时,an+1=,证明:数列{an}收敛,并求其极限值.
设a1=1,当n≥1时,an+1=,证明:数列{an}收敛,并求其极限值.
admin
2016-06-25
37
问题
设a
1
=1,当n≥1时,a
n+1
=
,证明:数列{a
n
}收敛,并求其极限值.
选项
答案
设f(x)=[*]<0,所以f(x)在[0,+∞)上单调减少. 由于a
1
=1,a
2
=[*],可知a
1
>a
3
>a
2
,而f(x)在[0,+∞)上单调减少,所以有f(a
1
)<f(a
3
)<f(a
2
),即a
2
<a
4
<a
3
,所以a
1
>a
3
>a
4
>a
2
,递推下去就可以得到 a
1
>a
3
>a
5
>…>a
2n一1
>…>a
2n
>…>a
6
>a
4
>a
2
. 由此可以肯定,给定数列的奇数项子数列{a
2n一1
}单调减少且有下界a
2
=[*],偶数项子数列{a
2n
}单调增加且有上界a
1
=1,所以他们都收敛.设他们的极限分别为正数P和Q,即 [*]=Q. 在a
n+1
=f(a
n
)两边同取n→∞时的极限,根据函数f(x)的连续性,有 [*]
解析
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考研数学二
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