设f(x)在[0,+∞)内可导且f(0)=1,f′(x)<f(x)(x>0).证明:f(x)<ex(x>0).

admin2022-08-19  62

问题 设f(x)在[0,+∞)内可导且f(0)=1,f′(x)<f(x)(x>0).证明:f(x)<ex(x>0).

选项

答案令φ(x)=e-xf(x),则φ(x)在[0,+∞)内可导, 又φ(0)=1,φ′(x)=e-x[f′(x)-f(x)]<0(x>0),所以当x>0时,φ(x)<φ(0)=1, 所以有f(x)<ex(x>0).

解析
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