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  3. 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′(ξ)+f″(ξ)=0.

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′(ξ)+f″(ξ)=0.

admin2022-08-19  46
问题 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′(ξ)+f″(ξ)=0.
选项
答案[*] 由罗尔定理，存在x0∈(c，2)[*](1，2)，使得f′(x0)=0. 令φ(x)=exf′(x)，则(1)=φ(x0)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(1，x0)[*](0，2)，使得φ′(ξ)=0， 而φ′(x)=ex[f′(x)+f″(x)]且ex≠0，所以f′(ξ)+f″(ξ)=0.
解析
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考研数学三

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