微分方程y″＋y′＝x2的特解形式为__________．

admin2016-01-25 58

问题微分方程y″＋y′＝x²的特解形式为__________．

选项

答案y^*＝x(ax²＋bx＋c)

解析先求出对应齐次方程的特征方程的根r₁，r₂，再根据方程右端所含的自由项f(x)的形式设出特解y^*的形式．
(1)若f(x)＝P_m(x)e^λx，则特解y^*＝x^kQ_m(x)e^λx，其中Q_m(x)是与P_m(x)同次的待定多项式

(2)若f(x)＝e^λx[P_l(x)cosωx＋P_n(x)sinωx]，则设特解为
y^*＝x^ke^λx

(x)sinωx］，
其中

(x)是m次多项式，m＝max｛l，n｝，

对应其次方程为
r²＋r＝r(r＋1)＝0，
故r＝0为其一特征根，而
f(x)＝x²＝x²e^0x，
即f(x)中的指数为0．因指数0为其特征方程的单根，故特解形式为
y^*＝x(ax²＋bx＋c)，
其中a，b，c为待定的系数．

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