设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x) ①的3个解，且则式①的通解为 ________ ．

admin2015-07-22 79

问题设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y₁(x)，y₂(x)与y₃(x)是二阶非齐次线性方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x) ①的3个解，且

则式①的通解为 ________ ．

选项

答案y=C₁(y₁一y₂)+C₂(y₂一y₃)+y₁，其中C₁，C₂为任意常数

解析由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可．
y₁一y₂与y₂～y₃均是式①对应的线性齐次方程
y"+p(x)y’+q(x)y=0 ②
的两个解．今证它们线性无关．事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数k₁与k₂使
k₁(y₁一y₂)+k₂(y₂一y₃)=0． ③
设k₁≠0，又由题设知y₂一y₃≠0，于是式③可改写为

矛盾。若k₁=0，由y₂—y₁≠0，故由式③推知k₂=0矛盾．这些矛盾证得y₁一y₂与y₂—y₃线性无关．
于是 Y=C₁(y₁一y₂)+C₂(y₂一y₃) ④
为式②的通解，其中C₁，C₂为任意常数，从而知
y=C₁(y₁一y₂)+C₂(y₂一y₃)+y₁ ⑤为式①的通解．

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考研数学三

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