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  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a,b)内二阶可导，且试证：存在一点ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=0．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a,b)内二阶可导，且试证：存在一点ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=0．

admin2017-05-31  18
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a,b)内二阶可导，且试证：存在一点ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=0．
选项
答案作辅助函数F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导．由拉格朗日定理可知，存在点η∈(a，b)，使得 [*] 于是，在区间[a，η]和[η，b]上分别应用洛尔定理，可知存在点ξ1∈(a，η)，ξ2∈(η，b)，使得f(ξ1)一f(ξ2)=0．再对f’(x)在[ξ1，ξ2]上应用洛尔定理，可知存在点ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得f’’(ξ)=0．
解析 由洛尔定理可知：要证存在一点ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=0，只要证：[ξ1，ξ2][a，b]，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0，只要证：点η∈(a，b)，使得f(z)=f(η)=f(b)．
    由条件可知，对F(x)=∫axf(t)dt由拉格朗日定理便可找到这样的点η．
若按一般教材上的积分中值定理，只能证存在点η∈[a，b]使得f(η)，不能完成本题证明，实际上，积分中值定理可推广．
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