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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且试证:存在一点ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=0.
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且试证:存在一点ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=0.
admin
2017-05-31
31
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且
试证:存在一点ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=0.
选项
答案
作辅助函数F(x)=∫
a
x
f(t)dt,则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.由拉格朗日定理可知,存在点η∈(a,b),使得 [*] 于是,在区间[a,η]和[η,b]上分别应用洛尔定理,可知存在点ξ
1
∈(a,η),ξ
2
∈(η,b),使得f(ξ
1
)一f(ξ
2
)=0.再对f’(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上应用洛尔定理,可知存在点ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得f’’(ξ)=0.
解析
由洛尔定理可知:要证存在一点ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=0,只要证:
[ξ
1
,ξ
2
]
[a,b],使得f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
)=0,只要证:
点η∈(a,b),使得f(z)=f(η)=f(b).
由条件
可知,对F(x)=∫
a
x
f(t)dt由拉格朗日定理便可找到这样的点η.
若按一般教材上的积分中值定理,只能证存在点η∈[a,b]使得
f(η),不能完成本题证明,实际上,积分中值定理可推广.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/giu4777K
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考研数学一
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