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已知抛物线y2=2px(p>0),过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l1、l2,l1与抛物线交于P、Q两点,l2与抛物线交于M、N两点,l1斜率为k.某同学已正确求得弦PQ的中点坐标为,请写出弦MN的中点坐标:_____________.
已知抛物线y2=2px(p>0),过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l1、l2,l1与抛物线交于P、Q两点,l2与抛物线交于M、N两点,l1斜率为k.某同学已正确求得弦PQ的中点坐标为,请写出弦MN的中点坐标:_____________.
admin
2019-12-12
82
问题
已知抛物线y
2
=2px(p>0),过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l
1
、l
2
,l
1
与抛物线交于P、Q两点,l
2
与抛物线交于M、N两点,l
1
斜率为k.某同学已正确求得弦PQ的中点坐标为
,请写出弦MN的中点坐标:_____________.
选项
答案
(pk
2
+p,-pk)
解析
由l
1
与抛物线交于两点可知,k≠0,由于l
1
、l
2
互相垂直,故l
2
的斜率为-1/k,设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),则
,两式相减得,(y
1
-y
2
)(y
1
+y
2
)=2p(x
1
-x
2
),所以
,则y
1
+y
2
=-2pk,所以弦MN中点纵坐标为-pk,又因为l
2
过定点(p,0),所以由
可得x=pk
2
+p,故中点坐标为(pk
2
+p,-pk).
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