2. 考研
  3. 设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，C是m×s矩阵，满足AB＝C，如果秩r(A)＝n，证明秩r(B)＝r(C)．

设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，C是m×s矩阵，满足AB＝C，如果秩r(A)＝n，证明秩r(B)＝r(C)．

admin2018-04-18  48
问题 设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，C是m×s矩阵，满足AB＝C，如果秩r(A)＝n，证明秩r(B)＝r(C)．
选项
答案对齐次方程组(Ⅰ)ABχ＝0，(Ⅱ)Bχ＝0， 如α是(Ⅱ)的解，有Bα＝0，那么ABα＝0，于是α是(Ⅰ)的解． 如α是(Ⅰ)的解，有ABα＝0，因为A是m×n矩阵，秩r(A)＝n，所以Aχ＝0只有零解，从而Bα＝0．于是α是(Ⅱ)的解． 因此方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．那么s－r(AB)＝s－r(B)，即r(AB)＝r(B)． 所以r(B)＝r(C)．
解析
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考研数学二

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