2. 职业资格
  3. 如右图所示，设0＜a＜b，函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可微且f(x)＞0，f(a)=f(b)。设l为绕原点O可转动的细棍(射线)，放手后落在函数f(x)的图像上并支撑在点A(ζ，f(ζ))上，从直观上看， f＇(ζ)=。

如右图所示，设0＜a＜b，函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可微且f(x)＞0，f(a)=f(b)。设l为绕原点O可转动的细棍(射线)，放手后落在函数f(x)的图像上并支撑在点A(ζ，f(ζ))上，从直观上看， f＇(ζ)=。

admin2019-12-12  15
问题 如右图所示，设0＜a＜b，函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可微且f(x)＞0，f(a)=f(b)。设l为绕原点O可转动的细棍(射线)，放手后落在函数f(x)的图像上并支撑在点A(ζ，f(ζ))上，从直观上看，
      f＇(ζ)=。    (*)

证明：函数F(x)=在ζ处取得最大值，并由此证明(*)式。
选项
答案 函数F(x)表示函数f(x)图像上的点B(x，f(x))与原点O的连线的斜率kOB，即kOB=F(x)。在(a，b)内，若kOB不是最大值．则函数f(x)的图像会出现在直线OB的两侧。当kOB取得最大值时，函数f(x)的图像会出现在直线OB的下侧。因此kOB取最大值的点是射线l因重力自然下落的位置，即A，B重合。所以函数F(x)在x=ζ处取得最大值。 由图像知，f(a)=f(b)=0，所以F(a)=F(b)=0。而[*]x∈(a，b)，f(x)＞0，所以F(x)＞0，即F(x)的最大值不在端点a，b处取得。所以x=ζ是F(x)的极大值点。 因为函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可微，所以F(x)=[*]也在[a，b]上连续，在(a，b)内可微。于是 由F＇(ζ)=[*]=0，得f＇(ζ)=[*]。
解析
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