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已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的实数x,导函数f’(x)满足0<f’(x)<2且f’(x)≠1.常数c1为方程f(x)-x=0的实数根,常数c2为方程f(x)-2x=0的实数根.若对任意的闭区间[a,b]R,总存在xo∈(a,b),使等式f(b)-
已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的实数x,导函数f’(x)满足0<f’(x)<2且f’(x)≠1.常数c1为方程f(x)-x=0的实数根,常数c2为方程f(x)-2x=0的实数根.若对任意的闭区间[a,b]R,总存在xo∈(a,b),使等式f(b)-
admin
2011-01-28
87
问题
已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的实数x,导函数f’(x)满足0<f’(x)<2且f’(x)≠1.常数c
1
为方程f(x)-x=0的实数根,常数c
2
为方程f(x)-2x=0的实数根.若对任意的闭区间[a,b]
R,总存在x
o
∈(a,b),使等式f(b)-f(a)=(b-a)f’(x
0
)成立.
对任意的实数x
1
、x
2
,若满足|x
1
-c
1
|<1,|x
2
-c
2
|<1.求证:|f(x
1
)-f(x
2
)|<4.
选项
答案
当x
1
=x
2
时, |f(x
1
)-f(x
2
)|=0<4,显然成立. 当x
1
≠x
2
时,不妨设x
1
<x
2
. 由定理可知,总存在x
0
∈(x
1
,x
2
), 使得f(x
2
)-f(x
1
)=f’(x
0
)(x
2
-x
1
), 所以|f(x
2
)-f(x
1
)|=f’(x
0
)||x
2
-x
1
|=|f’(x
0
)||x
2
-c
1
-x
1
+c
1
|≤|f’(x
0
)|(|x
2
-c
1
|+|x
1
-c
1
|) ,由于0<f’(x)<2,|x
1
-c
1
|<1,|x
2
-c
1
|<1, 所以|f’(x
0
)|(|x
2
-c
21
|+|x
1
-c
1
|)<2(1+1)=4, 故|f(x
1
)-f(x
2
)|<4成立.
解析
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