已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的实数x,导函数f’(x)满足0<f’(x)<2且f’(x)≠1.常数c1为方程f(x)-x=0的实数根,常数c2为方程f(x)-2x=0的实数根.若对任意的闭区间[a,b]R,总存在xo∈(a,b),使等式f(b)-

admin2011-01-28  61

问题 已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的实数x,导函数f’(x)满足0<f’(x)<2且f’(x)≠1.常数c1为方程f(x)-x=0的实数根,常数c2为方程f(x)-2x=0的实数根.若对任意的闭区间[a,b]R,总存在xo∈(a,b),使等式f(b)-f(a)=(b-a)f’(x0)成立.
对任意的实数x1、x2,若满足|x1-c1|<1,|x2-c2|<1.求证:|f(x1)-f(x2)|<4.

选项

答案当x1=x2时, |f(x1)-f(x2)|=0<4,显然成立. 当x1≠x2时,不妨设x1<x2. 由定理可知,总存在x0∈(x1,x2), 使得f(x2)-f(x1)=f’(x0)(x2-x1), 所以|f(x2)-f(x1)|=f’(x0)||x2-x1|=|f’(x0)||x2-c1-x1+c1|≤|f’(x0)|(|x2-c1|+|x1-c1|) ,由于0<f’(x)<2,|x1-c1|<1,|x2-c1|<1, 所以|f’(x0)|(|x2-c21|+|x1-c1|)<2(1+1)=4, 故|f(x1)-f(x2)|<4成立.

解析
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