下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )

admin2018-01-12 67

问题下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )

选项 A、
B、
C、
D、

答案D

解析 A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化．
B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有3个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化．
C是秩为1的矩阵，由｜λE-A｜=λ³-4λ²，知矩阵的特征值是4，0，0．对于二重根λ=0，由秩R(0E-A)=R(A)=1，知齐次方程组(0E-A)X=0的基础解系有3-1=2个线性无关的解向量，即λ=0有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化．
D是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，-1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ=1，由秩R(E-A)=

=2，知齐次方程组(E-A)X=0只有3-2=1个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选D．

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考研数学一

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