设X和Y相互独立都服从0—1分布:P{X=1)=P{Y=1)=0.6.试证明:U=X+Y,V=X—Y不相关,但是不独立.

admin2015-08-17  37

问题 设X和Y相互独立都服从0—1分布:P{X=1)=P{Y=1)=0.6.试证明:U=X+Y,V=X—Y不相关,但是不独立.

选项

答案(1)由协方差的定义和性质,以及X和Y相互独立,可见 Cov(U,V)=E(UV)一EUEV=E(X2一Y2)一E(X+Y)E(X—Y)=E(X2)一E(Y2)=0.于是,U=X+Y,V=X—Y不相关. (2)现在证明U=X+Y,V=X—Y不独立.事实上,由 P{U=0}=P{X=0,Y=0)=P{X=0)P{Y=0)=0.16, P{V=0}=P{X=0,Y=0)+P{X=1,Y=1} =P{X=0)P(Y=0)+P{X=1)P{Y=1)=0.52, P{U=0,V=0)=P{X=0,Y=0)=P{X=0)P{Y=0) =0.16≠0.16×0.52=P{U=0)P{V=0),可见U和V不独立.

解析
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