设X和Y相互独立都服从0—1分布：P{X=1)=P{Y=1)=0．6．试证明：U=X+Y，V=X—Y不相关，但是不独立．

admin2015-08-17 50

问题设X和Y相互独立都服从0—1分布：P{X=1)=P{Y=1)=0．6．试证明：U=X+Y，V=X—Y不相关，但是不独立．

选项

答案(1)由协方差的定义和性质，以及X和Y相互独立，可见 Cov(U，V)=E(UV)一EUEV=E(X²一Y²)一E(X+Y)E(X—Y)=E(X²)一E(Y²)=0．于是，U=X+Y，V=X—Y不相关． (2)现在证明U=X+Y，V=X—Y不独立．事实上，由 P{U=0}=P{X=0，Y=0)=P{X=0)P{Y=0)=0．16， P{V=0}=P{X=0，Y=0)+P{X=1，Y=1} =P{X=0)P(Y=0)+P{X=1)P{Y=1)=0．52， P{U=0，V=0)=P{X=0，Y=0)=P{X=0)P{Y=0) =0．16≠0．16×0．52=P{U=0)P{V=0)，可见U和V不独立．

解析

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考研数学一

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