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设f(x)在[a,b]二阶可导,f(x)>0,f"(x)<0((x∈(a,b)),求证:∫abf(x)dx.
设f(x)在[a,b]二阶可导,f(x)>0,f"(x)<0((x∈(a,b)),求证:∫abf(x)dx.
admin
2019-07-19
34
问题
设f(x)在[a,b]二阶可导,f(x)>0,f"(x)<0((x∈(a,b)),求证:
∫
a
b
f(x)dx.
选项
答案
联系f(x)与f"(x)的是泰勒公式. ヨx
0
∈[a,b],f(x
0
)=[*]f(x).将f(x
0
)在[*]x∈[a,b]展开,有 f(x
0
)=f(x)+f’(x)(x
0
-x)+[*]f"(ξ)(x
0
-x)
2
(ξ在x
0
与x之间)<f(x)+f’(x)(x
0
-x)]]([*] ∈[a,b],x≠x
0
). 两边在[a,b]上积分得 ∫
a
b
f(x
0
)dx<∫
a
b
f(x)dx+∫
a
b
f’(x)(x
0
-x)dx=∫
a
b
f(x)dx+∫
a
b
(x
0
-x)df(x) =∫
a
b
f(x)dx-(b-x
0
)f(b)-(x
0
-a)f(a)+∫
a
b
f(x)dx ≤2∫
a
b
f(x)dx. 因此f(x
0
)(b-a)<2∫
a
b
f(x)dx,即 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/hNc4777K
0
考研数学一
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