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  3. 设f(x)在[a，b]二阶可导，f(x)＞0，f"(x)＜0((x∈(a，b))，求证：∫abf(x)dx．

设f(x)在[a，b]二阶可导，f(x)＞0，f"(x)＜0((x∈(a，b))，求证：∫abf(x)dx．

admin2019-07-19  32
问题 设f(x)在[a，b]二阶可导，f(x)＞0，f"(x)＜0((x∈(a，b))，求证：∫abf(x)dx．
选项
答案联系f(x)与f"(x)的是泰勒公式． ヨx0∈[a，b]，f(x0)=[*]f(x)．将f(x0)在[*]x∈[a，b]展开，有 f(x0)=f(x)+f’(x)(x0－x)+[*]f"(ξ)(x0－x)2(ξ在x0与x之间)＜f(x)+f’(x)(x0－x)]]([*] ∈[a，b]，x≠x0)． 两边在[a，b]上积分得 ∫abf(x0)dx＜∫abf(x)dx+∫abf’(x)(x0－x)dx=∫abf(x)dx+∫ab(x0－x)df(x) =∫abf(x)dx－(b－x0)f(b)－(x0－a)f(a)+∫abf(x)dx ≤2∫abf(x)dx． 因此f(x0)(b－a)＜2∫abf(x)dx，即 [*]
解析
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考研数学一

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