设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=1，证明：在(0，1)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+ξf′(ξ)－2ξ=0成立．

admin2017-03-30 8

问题设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=1，证明：在(0，1)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+ξf′(ξ)－2ξ=0成立．

选项

答案设F(x)=xf(x)－x²，因为f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，所以F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又f(1)=1， F(0)=0.f(0)－0²=0，F(1)=1.f(1)一1²=0，即F(0)=F(1)，故在(0，1)内至少存在一点ξ，使F′(ξ)=0，即f(ξ)+ξf′(ξ)一2ξ=0成立．

解析设F(x)=xf(x)一x²，得出F(0)=F(1)，即可求解．

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