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求幂级数1+(-1)nx2n/2n(|x|<1)的和函数f(x)及其极值。
求幂级数1+(-1)nx2n/2n(|x|<1)的和函数f(x)及其极值。
admin
2018-03-30
57
问题
求幂级数1+
(-1)
n
x
2n
/2n(|x|<1)的和函数f(x)及其极值。
选项
答案
先对和函数f(x)=1+[*](-1)
n
x
2n
/2n(|x|<1)求导,有f’(x)=[*](-1)
n
x
2n-1
=x[*](-1)
n
x
2n-2
=-x[*](-1)
n
x
2n
=-x[*](-x
2
)
n
=-x.[*] 对上式两边从0到x积分得, ∫
0
x
f’(t)dt=-∫
0
x
[*]f(x)-f(0)=-1/2ln(1+x
2
), 由f(0)=1,得f(x)=1-[*]ln(1+x
2
)(|x|<1)。 接下来求和函数的极值, 对f(x)求一阶导数, 得f’(x)=-[*],令f’(x)=0,可得唯一驻点x=0, 由于f"(x)=-[*],则f"(0)=-1<0, 由极值的第二充分条件,得f(x)在x=0处取得极大值,且极大值为f(0)=1。
解析
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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